Geometry glossary

conjector - An educated guess about what will always be true.
converse - The statement formed by interchanging the hypothesis and conclution of a conditional statement.
counterexample - An example use to show that a given general statement is not always true
contrapositive - The statement formed by negating both the the hypothesis and conclution of a conditional statement.
deductive resonning - A system of reasoning used to reach conclusions that must be true whenever the assumptions on which the reasoning is based are true.
inductive resonning - 1. Reasoning from detailed facts to general principles
inverse - the denial of statement
Law of Detachment - If p -> q is a true conditional and p is true , then q is true
Law of Syllogism - If p -> q and q -> r are true conditional , then p -> r is also true.
negation - the denial of statement
proof - A logical argument showing that the truth of hypothesis guarantees the truth of the conclution.
hypothesis - In a conditional statement, the statement that immediately follows the word if.
conjector -- การคาดเดาเกี่ยวกับสิ่งที่จะเป็นจริง
converse -- คำสั่งที่เกิดขึ้นจากการสลับส่วนสมมติและ บทสรุป ของข้อความ
counterexample -- ตัวอย่างที่ใช้เพื่อแสดงให้เห็นว่าข้อความที่กล่าวไม่เป็นจริงเสมอไป
contrapositive -- คำสั่งที่เกิดขึ้นจาก ปฏิเสธ ทั้งสมมติฐานและ ผลสรุป ของข้อความ
resonning deductive -- ระบบการให้เหตุผลใช้ในการเข้าถึงข้อสรุปที่ต้องเป็นจริงเมื่อใดก็ตามที่สมมติฐานที่มีเหตุผลเป็นไปตามเป็นจริง

โครงสร้างวิชาคณิตศาสตร์

โครงสร้างของวิชาคณิตศาสตร์ ประกอบด้วย

1. อนิยาม หมายถึง คำที่มีความหมายชัดเจนอยู่ในตัวเองเป็นคำที่ทุกคนสามารถเข่ใจตรงกันว่าหมายถึงสิ่งใด และสามารถใช้สื่อสารได้โดยไม่จำเป็นต้องอธิบายหรือใช้คำจำกัดความ หากพยามอธิบายหรือให้คำจำกัดความในคำนั้นๆ ว่าหมายถึงสิ่งใด ก็จะพบกับปัญหาในการอธิบายหรือสื่อสารให้เกิดความเข้าใจตรงกัน เช่น จุด เส้นตรง ดิน น้ำ ลม ไฟ เป็นต้น

2. นิยาม หมายถึงคำที่มีการอธิบายหรือให้คำจำกัดความไว้อย่างชัดเจน เพื่อให้ทุกคนทราบความหมายอย่างถูกต้องและมีความเข้าใจในสิ่งนั้นตรงกัน เช่น

มุมฉาก หมายถึง มุมที่มีขนาด 90 องศา

รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส หมายถึง รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านเท่ากันทั้งสี่ด้านและมีมุมทุกมุมเป็นมุมฉาก

3. สัจพจน์ หมายถึง ข้อความที่ทุกคนยอมรับว่าข้อความนั้นเป็นจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์ ซึ่งข้อความนั้นอาจจะเป็นจริงโดยธรรมชาติเช่นดวงอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก เป็นต้น

4. ทฤษฎี หมายถึง ข้อความที่ทุกคนยอมรับว่าข้อความนั้นเป็นจริง โดยมีการพิสูจน์ข้อความนั้นอย่างมีเหตุผล มีระบบทางคณิตศาสตร์อย่างชัดเจน โดยอาศัย อนิยาม นิยาม และสัจพจน์ เช่นผลบวกของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับ 180 องศา เป็นต้น

การพิสูจน์ทางตรรกศาสตร์ เป็นการพิสูจน์การให้เหตุผลโดยใช้ภาษาแสดงเหตุผล ซึ่งภาษาที่ใช้เขียนเป็นข้อกำหนด หรือข้อสมมติที่ตั้งขึ้น หรือเป็นข้อสนับสนุน เรียกว่า เหตุ สำหรับภาษาที่ใช้เขียนเป็นข้อสรุปหรือผลลัพธ์ที่ได้จากการกระทำ หรือเป็นข้อความความที่ถูกสนับสนุน เรียกว่า ผล ซึ่งผลที่ได้จากการพิสูจน์ทางตรรกศาสตร์หรือการให้เหตุผล มี 2 ลักษณะ คือ สมเหตุสมผล กับ ไม่สมเหตุสมผล

มนุษย์รู้จักใช้การให้เหตุผล เพื่อสนับสนุนความเชื่อหรือเพื่อหาความจริง หรือข้อสรุปในเรื่องใดเรื่องหนึ่งมาแต่ครั้งโบราณ ในการสร้างความรู้ใหม่ต้องอาศัยสมมติฐานบางอย่าง โดยที่สมมติฐานนี้อาจจะได้มาจากการสังเกตจาปรากฎการณ์ธรรมชาติ หรือประเพณีวัฒนธรรมที่ปฏิบัติติดต่อกันมาตลอดจนเป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไป

ซึ่งสมมติฐานดังกล่าวสามารถจำแนกได้อย่างกว้าง ๆ 2 ลักษณะ คือ

1. สมมติฐานกรณีทั่วไป (เหตุใหญ่) เช่น

- พลเมืองของประเทศไทยที่มีอายุตั้งแต่ 18 ปีขึ้นไปจะมีสิทธิออกเสียงเลือกตั้ง

- จำนวนเต็มคู่ทุกจำนวนต้องหารด้วย 2 ลงตัว

- เมื่อโยนวัตถุขึ้นไปในอากาศ วัตถุนั้นจะตกลงสุพื้นโลกเสมอ

2. สมมติฐานกรณีเฉพาะ (เหตุย่อย)

- นายสุเทพมีอายุ 19 ปี มีสิทธิออกเสียงเลือกตั้ง

- 8 หารด้วย 2 ลงตัว

- โดยก้อนหินขึ้นไปในอากาศก้อนหินจะตกลงสู่พื้นโลก

เมื่อมีการกำหนดสมมติฐานขึ้นมาไม่ว่าจะเป็นแบบใดและจะมีกี่สมมติฐาน เราถือว่าสมมติฐานดังกล่าวเป็นเหตุ นำสมมติฐานหรือเหตุดังกล่าวมาแจกแจงสดงความสัมพันธ์ถึงความต่อเนื่องเกี่ยวโยงกันจนทำให้เกิดความรู้หรือปรากฏการณ์ใหม่ขึ้นมา ซึ่งเราเรียกว่า ผลหรือผลสรุป

การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญมีอยู่ 2 วิธี ได้แก่

1. การให้เหตุผลแบบอุปนัย (Inductive Reasoning)

การให้เหตุผลแบบอุปนัย (Inductive Reasoning) เกิดจากการที่มีสมมติฐานกรณีเฉพาะ หรือเหตุย่อยหลายๆ เหตุ เหตุย่อยแต่ละเหตุเป็นอิสระจากกัน มีความสำคัญเท่าๆ กัน และเหตุทั้งหลายเหล่านี้ไม่มีเหตุใดเหตุหนึ่งแสดงให้เห็นถึงความเป็นสมมติฐานกรณีทั่วไป หรือกล่าวได้ว่า การให้เหตุผลแบบอุปนัยคือการนำเหตุย่อยๆ แต่ละเหตุมารวมกัน เพื่อนำไปสู่ผลสรุปเป็นกรณีทั่วไป เช่น

การให้เหตุผลแบบนิรนัย (Deductive Reasoning)
การให้เหตุผลแบบนิรนัยเกิดจากการมีสมมติฐานทั่วไปและตามด้วยสมมติฐานเฉพาะย่อยๆ ไปเรื่อยๆ ความสัมพันธ์ระหว่างสมมติฐานทั่วไป และสมมติฐานเฉพาะจะก่อให้เกิดผลสรุปเฉพาะ โดยต้องยอมรับว่าสมมติฐานทุกสมมติฐานเป็นข้อความที่เป็นจริง เพื่อหาเหตุผลนำไปสู่ข้อสรุป
ตัวอย่างการให้เหตุผลแบบนิรนัย

1. เหตุ 1) จำนวนคู่หมายถึงจำนวนที่หารด้วย 2 ลงตัว 2. เหตุ 1) คนทุกคนต้องตาย
2) 10 หารด้วย 2 ลงตัว 2) นายวิชาเป็นคน
ผล 10 เป็นจำนวนคู่ ผล นายวิชาต้องตาย
สมเหตุสมผล สมเหตุสมผล

3. เหตุ 1) นักกีฬากลางแจ้งทุกคนจะต้องมีสุขภาพดี 4. เหตุ 1) นกทุกตัวบินได้
2) เกียรติศักดิ์เป็นนักฟุตบอลทีมชาติไทย 2) ค้างคาวเป็นนก
ผล เกียรติศักดิ์มีสุขภาพดี ผล ค้างคาวบินได้
สมเหตุสมผล สมเหตุสมผล

จากตัวอย่างการยอมรับความรู้พื้นฐานหรือความจริงบางอย่างก่อน แล้วจึงหาข้อสรุปจากสิ่งที่ยอมรับแล้วนั้น ซึ่งจะเรียกว่า ผล การสรุปจะถูกต้องก็ต่อเมื่อเป็นการสรุปผลได้อย่างสมเหตุสมผล (valid) เช่น

เหตุ 1) เรือทุกลำลอยน้ำได้
2) ถังน้ำพลาสติก ลอยน้ำได้
ผล ถังน้ำพลาสติกเป็นเรือ

การสรุปผลจากข้างต้นไม่สมเหตุสมผล แม้ว่าข้ออ้างหรือเหตุทั้งสองข้อจะเป็นจริง แต่การที่เราทราบว่าเรือทุกลำลอยน้ำ
ได้ก็ไม่ได้หมายความว่าสิ่งอื่นๆ ที่ลอยน้ำได้จะต้องเป็นเรือเสมอไป ข้อสรุปดังกล่าวข้างต้นจึงเป็นการสรุปไม่สมเหตุสมผล

ข้อสังเกต การให้เหตุผลแบบนิรนัยนั้น ผลหรือข้อสรุปจะถูกต้องก็ต่อเมื่อ
1) ยอมรับว่าเหตุเป็นจริงทุกข้อ
2) การสรุปผลสมเหตุสมผล

ตัวอย่างการให้เหตุผล

1. เหตุ 1) นายธนาคารทุกคนเป็นคนรวย
2) นายอภิศักดิ์ เป็นนายธนาคาร
ผล นายอภิศักดิ์ เป็นคนรวย

โลกเรามีวิธีสร้างความรู้ใหม่สองอย่าง

วิธี แรกเรียกว่า Deductive reasoning วิธีนี้คือการตรวจดูภาพรวมทั้งหมดจนแน่ใจว่าถูกต้องทุกๆ กรณีจึงสรุปว่าเป็นจริงเสมอและเกิดเป็นความรู้ใหม่ วิธีนี้ให้ความแน่นอนสูง แต่ในโลกของความเป็นจริงทำได้ยาก เพราะถ้ามัวแต่รอให้ข้อมูลครบ บางทีก็เป็นอันไม่ต้องทำอะไรกันพอดี ความรู้ใหม่ในโลกนี้ส่วนใหญ่แล้วจึงไม่ ได้เกิดจาก Deductive reasoning

วิธีที่สอง เรียกว่า Inductive reasoning คือ การตรวจสอบแค่บางส่วนของทั้งหมด เช่น การสุ่มตัวอย่าง ถ้าจำนวนตัวอย่างที่ตรวจสอบมีมากพอก็สรุปไปเลยว่าเป็นจริงทุกกรณีและเกิด เป็นความรู้ใหม่ วิธีนี้ทำได้ง่ายและเร็วกว่าวิธีแรกมาก ความรู้ใหม่ในโลก นี้ส่วนใหญ่จึงเกิดจาก Inductive reasoning ทั้งสิ้น ตัวอย่างเช่น เซอร์ไอแซค นิวตัน ศึกษาการเคลื่อนที่ของลูกแอ๊ปเปิ้ล แล้วนำมาสรุปเป็นกฏการเคลื่อนที่ของวัตถุทุกชิ้นในเอกภพ

แม้ ว่า Inductive reasoning จะใช้ประโยชน์ได้มากกว่า แต่วิธีนี้ก็มีจุดอันตรายอยู่ เพราะการตรวจสอบแค่ส่วนหนึ่งแต่เหมารวมเป็นความจริงทั้งหมด ตัวอย่างเช่น ถ้าตั้งแต่เกิดมาคุณเคยเห็นแกะมาทั้งหมด 120 ตัว ทุกตัวเป็นสีขาว คุณอาจสรุปด้วยวิธี inductive reasoning ว่า แกะทั้งโลกนี้ (นับล้านๆ ตัว) เป็นสีขาวทุกตัว แต่ในความเป็นจริงแล้ว ถ้าในโลกนี้มีแกะแค่หนึ่งหรือสองตัวที่เป็นสีดำแต่บังเอิญคุณไม่เคย เห็น ความรู้ใหม่ของคุณก็เป็นความรู้ที่ผิดทันที การสร้างความรู้ใหม่ด้วย วิธี Inductive reasoning แม้จะใช้การได้ดีแต่ก็เสี่ยงที่จะผิดพลาดในลักษณะนี้ได้เสมอ

การ จะสรุปว่าตลาดหุ้นเป็นอย่างไรนั้น ถ้าเราสรุปจากประสบการณ์ที่เราอยู่ในตลาดหุ้นมาแค่ไม่กี่ปี แล้วคิดว่านั่นคือภาพทั้งหมดของตลาดหุ้น ก็ไม่ต่างอะไรกับการเห็นแกะไม่กี่ตัวแล้ว สรุปว่าแกะทั้งหมดเป็นสีขาว ตลาดหุ้นนั้นเป็นอะไรที่ถ้าคุณต้องการจะรู้จัก ตัวตนที่แท้จริงของมัน อาจต้องใช้เวลาอยู่กับมันมากกว่าค่อนชีวิตของคุณเลยทีเดียว ถ้าคุณเข้าตลาด หุ้นมาแค่สองสามปีแล้วพบว่ามันให้ผลตอบแทนที่ดีมากมาตลอดก็อย่าเพิ่งรีบด่วน สรุปว่าตลาดหุ้นคือพี่ใหญ่ใจดี ผู้จัดการที่คุณเห็นว่าเป็นคนสุภาพเรียบร้อย สองสามวันพอถึงคืนเดือนมืดก็ยัง "เปลี๋ยนไป๋" เป็นมนุษย์หมาป่าที่ดุร้ายแบบหน้ามือเป็นหลังมือได้เฉยเลย

เช่น นี้จึงไม่ใช่เรื่องแปลกที่บางครั้งคุณได้ฟังหลักการลงทุนของคนที่อยู่ในตลาด มานานถึง 60 ปี อย่างเช่น วอเรน บัฟเฟต แล้วคุณจะรู้สึกว่าหลักการแบบนั้นไม่น่าจะเวิร์ค เพราะคนที่อยู่ในตลาดหุ้นมานานไม่เท่ากัน ย่อมมีรู้จักตลาดหุ้นไม่เหมือนกัน ทำให้มีความเห็นต่างกันได้ โดยส่วนตัวแล้ว ผมพยายามฟังคำแนะนำของ วอเรน บัฟเฟต แม้ว่าบางอันผมจะรู้สึกว่ามันขัดกับประสบการณ์ส่วนตัวของผม เพราะผมเชื่อว่า ยังไงเสีย คนที่อยู่ในตลาดหุ้นมานานมากขนาดนั้นน่าจะมีมุมมองเกี่ยวกับตลาดหุ้นที่ใกล้ เคียงกับความเป็นจริงมากกว่าผมอย่างแน่นอน